Determinan, Invers, dan Pangkat

🔒 Halaman Ini Terkunci

Masukkan passcode untuk mengakses konten lengkap:

👁

Soal dan pembahasan:

Carilah determinan dari matriks \( A = (-10) \) dan \( B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \).

Diketahui dua buah matriks:
Matriks \( A \) adalah matriks ordo 1×1, yaitu:
\[ A = (-10) \] Untuk matriks 1×1, determinan adalah elemen itu sendiri:
\[ \det(A) = -10 \]
Matriks \( B \) adalah matriks ordo 2×2:
\[ B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \] Determinan matriks 2×2 dihitung dengan rumus:
\[ \det(B) = (2)(-4) - (5)(7) = -8 - 35 = -43 \]
Jadi:
\[ \det(A) = -10, \quad \det(B) = -43 \]

Dengan rumus Sarrus, tentukan determinan matriks \[ C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \]

Pertama, kita salin dua kolom pertama di sebelah kanan matriks:
\[ \left(\begin{array}{ccc|cc} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 3 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right) \]
Hitung jumlah hasil kali diagonal dari kiri atas ke kanan bawah:

\[ (1)(1)(1) + (2)(3)(3) + (3)(-2)(2) = 1 + 18 - 12 = 7 \]
Hitung jumlah hasil kali diagonal dari kiri bawah ke kanan atas:

\[ (3)(1)(3) + (2)(3)(1) + (1)(-2)(2) = 9 + 6 - 4 = 11 \]
Maka determinan matriks adalah:
\[ \det(C) = 7 - 11 = -4 \]
Jawaban: \( \boxed{-4} \)

Dengan aturan minor-kofaktor, tentukan determinan matriks \[ F = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & -1 \\ -6 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

Kita akan menggunakan ekspansi kofaktor pada baris pertama karena memiliki banyak nol.
Matriks baris pertama adalah \( [3, 0, 0, 0] \).
Maka:
\[ \det(F) = 3 \cdot \det(M_{11}) \] di mana \( M_{11} \) adalah submatriks yang diperoleh dari menghapus baris pertama dan kolom pertama:
\[ M_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 6 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Sekarang kita hitung determinan \( M_{11} \) dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama:
\[ \det(M_{11}) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \]
Hitung masing-masing determinan minor:
\[ \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0)(0) - (-1)(1) = 1 \]
\[ \begin{vmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (6)(0) - (-1)(3) = 3 \]
Maka:
\[ \det(M_{11}) = 1(1) - 2(3) = 1 - 6 = -5 \]
\[ \det(F) = 3 \cdot (-5) = -15 \]

Jika diketahui matriks \( A \) berordo 6 mempunyai \( |A| = -4 \), maka tentukan:

1. \( \det(A^T) \)
2. \( \det(-A) \)
3. \( \det(A - A) \)
4. \( \det(A^3) \)
5. \( \det\left( \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}A \right) \)
6. \( \det(A + A) \)
7. \( \det(E_{24}(A)) \)
8. \( \det(E_{12(4)}(A)) \)
9. \( \det(E_{2(4)}(A)) \)

Diketahui \( \det(A) = -4 \) dan ordo matriks \( A \) adalah 6.
Kita gunakan sifat-sifat determinan untuk menjawab tiap pertanyaan.

1. \( \det(A^T) = \det(A) = -4 \) karena determinan transpose sama dengan determinan asli.

2. \( \det(-A) = (-1)^6 \cdot \det(A) = 1 \cdot (-4) = -4 \) karena setiap baris dikali -1 sebanyak 6 kali.

3. \( \det(A - A) = \det(0) = 0 \), karena \( A - A \) menghasilkan matriks nol.

4. \( \det(A^3) = (\det(A))^3 = (-4)^3 = -64 \).

5. \( \det\left( \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}A \right) = \det(A) = -4 \), karena jumlahnya adalah \( A \) kembali.

6. \( \det(A + A) = \det(2A) = 2^6 \cdot \det(A) = 64 \cdot (-4) = -256 \), karena semua elemen dikali skalar 2.

7. \( \det(E_{24}(A)) = -\det(A) = -(-4) = 4 \), karena pertukaran dua baris mengubah tanda determinan.

8. \( \det(E_{12(4)}(A)) = \det(A) = -4 \), karena penjumlahan baris tidak mengubah determinan.

9. \( \det(E_{2(4)}(A)) = 4 \cdot \det(A) = 4 \cdot (-4) = -16 \), karena baris ke-2 dikalikan 4.

Diketahui \( A \), \( B \), dan \( C \) adalah matriks-matriks berukuran \( 3 \times 3 \) yang memenuhi
\[ 3E_{3(-2)}E_{13(-3)}E_{21}E_{12(-1)}(A) = 2BC^T. \] Jika \( |A| = 4 \) dan \( |B| = -2 \), tentukan \( |C| \).

Pertama, kita hitung determinan ruas kiri:

Operasi-operasi baris:
- \( E_{12(-1)} \): Menambahkan baris ke-2 dengan -1 × baris ke-1 → determinan tetap.
- \( E_{21} \): Menukar baris ke-2 dan ke-1 → determinan berubah tanda.
- \( E_{13(-3)} \): Menambahkan baris ke-1 dengan -3 × baris ke-3 → determinan tetap.
- \( E_{3(-2)} \): Mengalikan baris ke-3 dengan -2 → determinan dikali -2.

Selain itu, faktor 3 di depan berlaku sebagai pengali seluruh matriks:
\[ \det(3A) = 3^3 \cdot \det(A) = 27 \cdot \det(A) \] Maka:
\[ \det(3E_{3(-2)}E_{13(-3)}E_{21}E_{12(-1)}(A)) = 27 \cdot (-2) \cdot (-1) \cdot \det(A) \] \[ = 27 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4 = 216 \]
Ruas kanan adalah \( 2BC^T \), sehingga:
\[ \det(2BC^T) = 2^3 \cdot \det(B) \cdot \det(C^T) = 8 \cdot (-2) \cdot \det(C) \] karena \( \det(C^T) = \det(C) \).

Maka:
\[ 216 = -16 \cdot \det(C) \Rightarrow \det(C) = \frac{-216}{16} = -\frac{27}{2} \]

Tentukan invers dari matriks \[ B = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \]

Kita akan mencari invers dari matriks \( B \) menggunakan aturan minor dan kofaktor.

Langkah 1: Hitung determinan matriks
\[ \det(B) = (5)(4) - (2)(-3) = 20 + 6 = 26 \]
Langkah 2: Hitung minor dan kofaktor
Untuk matriks \(2 \times 2\), kofaktor langsung diperoleh dari elemen-elemen:
\[ \text{Minor dan Kofaktor:} \quad \begin{pmatrix} +4 & -(-3) \\ -(2) & +5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \]
Langkah 3: Transpos matriks kofaktor (adjoin)
Karena untuk matriks \(2 \times 2\), adjoin diperoleh langsung dari kofaktor dengan posisi silang:
\[ \text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \]
Langkah 4: Hitung invers
Rumus invers: \[ B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B) \] Maka: \[ B^{-1} = \frac{1}{26} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \]
Catatan:
Untuk matriks \( 2 \times 2 \): \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Dengan syarat \( ad - bc \ne 0 \).
Jadi, invers dari matriks \( B \) adalah: \[ B^{-1} = \frac{1}{26} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \]

Tentukan invers dari matriks \[ D = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]

a) Menggunakan Aturan Minor-Kofaktor
Untuk mencari invers dari suatu matriks \( D \), kita gunakan rumus:
\[ D^{-1} = \frac{1}{\det(D)} \cdot \text{adj}(D) \]
Pertama, kita hitung determinan dari matriks \( D \):
Dengan minor-kofaktor, mari hitung berdasarkan baris pertama:
\[ \det(D) = 0 \cdot \det M_{11} - 2 \cdot \det M_{12} + 0 \cdot \det M_{13} \]
Hitung minor \( M_{12} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det = -3 \)
\[ \det(D) = -2(-3) = 6 \]
Lanjut ke matriks kofaktor:
\[ \text{Cof}(D) = \begin{pmatrix} +\det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ -\det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ +\det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \]
Hasilnya adalah:
\[ \text{Cof}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 0 \\ -6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
Lalu adjoin adalah transpos dari kofaktor:
\[ \text{adj}(D) = \begin{pmatrix} 0 & -6 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
Maka:
\[ D^{-1} = \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -6 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

b) Menggunakan Metode Penghapusan (Gauss-Jordan)
Kita susun bentuk diperbesar \( (D | I) \):
\[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \]
Tukar baris ke-1 dan ke-2:
\[ \overset{E_{12}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \]
Kalikan baris pertama dengan -1:
\[ \overset{E_{1(-1)}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \]
Bagi baris ke-2 dengan 2 dan baris ke-3 dengan 3:
\[ \overset{E_{2(\frac{1}{2})}}{\sim} \overset{E_{3(\frac{1}{3})}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{array}\right) \]
Maka invers dari D adalah:
\[ D^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0.5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \] (hasil sesuai dengan metode minor-kofaktor)

Tentukan pangkat/rank dari matriks berikut:

1. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}\)
2. \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\)
3. \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)
4. \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

1. Matriks:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \]
Lakukan OBD untuk membuat bentuk baris eselon:
\[ \overset{E_{21(-1)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & 0 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \overset{E_{31(-2)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Terdapat 2 baris tidak nol. Maka:
\[ \text{rank}(A) = \boxed{2} \]

2. Matriks:
\[ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \]
Gunakan OBD untuk membuat bentuk eselon:
\[ \overset{E_{21(\frac{1}{2})}}{\sim} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \overset{E_{31(-\frac{3}{2})}}{\sim} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Terdapat 2 baris tidak nol. Maka:
\[ \text{rank}(B) = \boxed{2} \]

3. Matriks:
\[ C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
Hanya satu kolom dan tidak semua entri nol. Maka hanya ada satu baris tak nol.
\[ \text{rank}(C) = \boxed{1} \]

4. Matriks:
\[ D = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Semua elemen nol berarti tidak ada baris tak nol.
\[ \text{rank}(D) = \boxed{0} \]

Jika diketahui matriks \(A_{3\times3}\) taksingular, tentukan:

1. \(\det(AA^{-1})\)
2. \(p(A)\)
3. \(p(A^T)\)
4. \(p(A^{-1})\)
5. \(p(E_{13}(A))\)

1. \(\det(AA^{-1})\)
Karena \(A\) taksingular, maka \(A^{-1}\) ada dan:
\[ AA^{-1} = I \Rightarrow \det(AA^{-1}) = \det(I) = 1 \]
Jadi, \(\boxed{\det(AA^{-1}) = 1}\)

2. \(p(A)\)
Karena \(A\) adalah matriks \(3\times3\) dan taksingular, maka:
\[ \text{rank}(A) = 3 \]
Jadi, \(\boxed{p(A) = 3}\)

3. \(p(A^T)\)
Pangkat dari transpos matriks sama dengan pangkat matriks asal:
\[ p(A^T) = p(A) = 3 \]
Jadi, \(\boxed{p(A^T) = 3}\)

4. \(p(A^{-1})\)
Invers dari matriks taksingular juga taksingular, maka:
\[ \text{rank}(A^{-1}) = \text{rank}(A) = 3 \]
Jadi, \(\boxed{p(A^{-1}) = 3}\)

5. \(p(E_{13}(A))\)
Operasi baris elementer tidak mengubah pangkat matriks. Misalnya, \(E_{13}\) adalah penjumlahan baris pertama ke baris ketiga. Maka:
\[ p(E_{13}(A)) = p(A) = 3 \]
Jadi, \(\boxed{p(E_{13}(A)) = 3}\)

Tentukan benar ataukah salah pernyataan berikut:
a. Jika \( p(A) = 3 \), maka \( \det(A) \ne 0 \).
b. Jika \( \det(B) = 3 \), maka \( p(B) > 0 \) dan \( B^{-1}B = I \).
c. Jika \( AB = I_2 \), maka \( B^{-1} = A \) dan \( p(A) = 2 \).

a. Jika \( p(A) = 3 \), maka \( \det(A) \ne 0 \)
Kita analisis berdasarkan ordo (ukuran) matriks \( A \):

Kasus 1: Jika \( A \) adalah matriks \( 3 \times 3 \)
Jika rank \( p(A) = 3 \) dan matriks \( A \) berukuran \( 3 \times 3 \), maka ketiga barisnya bebas linier.
Ini berarti matriks tersebut taksingular, dan determinannya pasti tidak nol:
\[ p(A) = 3 \Rightarrow \det(A) \ne 0 \]
Maka, pernyataan BENAR untuk matriks \( 3 \times 3 \).

Kasus 2: Jika \( A \) adalah matriks \( 4 \times 4 \) atau lebih besar
Misalkan \( A \) adalah matriks \( 4 \times 4 \), tetapi hanya memiliki rank \( p(A) = 3 \).
Maka, baris-barisnya tidak sepenuhnya bebas linier (hanya 3 dari 4 baris bebas linier), sehingga:
\[ \det(A) = 0 \] karena matriks tidak memiliki pangkat penuh.
Maka, pernyataan SALAH untuk matriks \( 4 \times 4 \) atau lebih besar.

Kesimpulan:
Pernyataan "Jika \( p(A) = 3 \), maka \( \det(A) \ne 0 \)" hanya benar jika diketahui bahwa \( A \) adalah matriks persegi \( 3 \times 3 \).
Tanpa informasi ukuran, maka pernyataan ini SALAH secara umum.

Jawaban: Salah

b. Jika \( \det(B) = 3 \), maka \( p(B) > 0 \) dan \( B^{-1}B = I \)
Jika \( \det(B) = 3 \ne 0 \), maka \( B \) adalah matriks persegi taksingular.
Karena taksingular, maka:
\[ B^{-1} \text{ ada, dan } B^{-1}B = I \] Selain itu, determinan tidak nol mengindikasikan semua baris bebas linier, maka \( p(B) = n > 0 \).
Jawaban: Benar

c. Jika \( AB = I_2 \), maka \( B^{-1} = A \) dan \( p(A) = 2 \)
Jika hasil perkalian dua matriks \( AB = I_2 \), maka \( A \) dan \( B \) harus keduanya berukuran \( 2 \times 2 \), dan saling invers.
Maka berlaku:
\[ B^{-1} = A, \quad \text{dan karena } A \text{ taksingular}, \quad p(A) = 2 \] Jawaban: Benar

Matriks \( A = (a_{ij})_{4 \times 4} \) dengan \( a_{ij} = i \) mempunyai determinan ....

0 10 24 40 tidak ada jawaban yang benar

Matriks \( A \) berukuran \( 4 \times 4 \) dengan setiap elemen \( a_{ij} = i \), artinya nilai setiap elemen hanya bergantung pada indeks baris.
Maka bentuk matriks \( A \) adalah: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} \] Perhatikan bahwa setiap baris matriks \( A \) adalah kelipatan dari baris pertama:
- Baris kedua = 2 × baris pertama
- Baris ketiga = 3 × baris pertama
- Baris keempat = 4 × baris pertama
Karena baris-baris saling bergantung linear, maka: \[ \text{pangkat}(A) = 1 \Rightarrow \det(A) = 0 \]
Jadi, \(\boxed{\det(A) = 0}\)

Matriks \( A = (a_{ij})_{4 \times 4} \) dengan \( a_{ij} = i \) adalah ...

taksingular singular tidak punya determinan pilihan jawaban lain yang disediakan salah

Matriks \( A \) dengan \( a_{ij} = i \) berarti setiap elemen hanya tergantung pada indeks baris.
Maka bentuk matriks \( A \) adalah: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} \] Perhatikan bahwa:
- Semua kolom pada matriks ini identik secara struktur (tiap kolom adalah duplikat dari satu vektor kolom tunggal).
- Ini menyebabkan kolom-kolom saling bergantung linear.
- Akibatnya, pangkat matriks \( < 4 \), sehingga determinan \( = 0 \).
Karena determinan nol, maka:
\[ A \text{ adalah matriks singular} \]
Jadi, jawaban yang benar adalah: \(\boxed{\text{Matriks singular}}\)

Jika diketahui matriks \( A \) berordo 6 mempunyai \( |A| = -4 \), maka pernyataan yang salah adalah:

\( \det(AA^T) = 16 \) \( \det(-A) = -4 \) \( \det(A + A) = -8 \) \( \det(A^{-1}A) = 1 \) \( \det(E_{13}(A)) - \det(E_{2(-1)}(A)) = 0 \)

a. \( \det(AA^T) = 16 \)
Karena: \[ \det(AA^T) = \det(A)\cdot\det(A^T) = \det(A)^2 = (-4)^2 = 16 \]
Pernyataan ini benar.

b. \( \det(-A) = -4 \)
\[ \det(-A) = (-1)^6 \cdot \det(A) = 1 \cdot (-4) = -4 \]
Pernyataan ini benar.

c. \( \det(A + A) = -8 \)
\[ A + A = 2A \Rightarrow \det(2A) = 2^6 \cdot \det(A) = 64 \cdot (-4) = -256 \]
Maka pernyataan ini salah.

d. \( \det(A^{-1}A) = 1 \)
Karena: \[ A^{-1}A = I \Rightarrow \det(I) = 1 \]
Pernyataan ini benar.

e. \( \det(E_{13}(A)) - \det(E_{2(-1)}(A)) = 0 \)
\( E_{13} \) berarti pertukaran baris ke-1 dan baris ke-3 → ini mengubah tanda determinan:
\[ \det(E_{13}(A)) = -\det(A) = 4 \]
\( E_{2(-1)} \) berarti mengalikan baris ke-2 dengan -1 → juga mengubah tanda determinan:
\[ \det(E_{2(-1)}(A)) = -\det(A) = 4 \]
Maka: \[ \det(E_{13}(A)) - \det(E_{2(-1)}(A)) = 4 - 4 = 0 \]
Pernyataan ini benar.

Jika diketahui matriks \( A \) adalah matriks tak nol berukuran \( 4 \times 2 \), maka:

Matriks \( AA^T \) pasti mempunyai nilai determinan Matriks \( AA^T \) belum tentu mempunyai nilai determinan Matriks \( AA^T \) mempunyai invers Matriks \( AA^TA \) mempunyai invers

Matriks \( A \) berukuran \( 4 \times 2 \), artinya memiliki 4 baris dan 2 kolom. Maka:
\[ A^T \text{ berukuran } 2 \times 4 \Rightarrow AA^T \text{ berukuran } 4 \times 4,\quad A^TA \text{ berukuran } 2 \times 2,\quad AA^TA \text{ berukuran } 4 \times 2 \]
a. Matriks \( AA^T \) pasti mempunyai nilai determinan
Benar. Matriks \( AA^T \) adalah matriks persegi berukuran \( 4 \times 4 \), sehingga nilai determinannya pasti terdefinisi.
Namun, karena rank dari \( A \) maksimal 2 (jumlah kolom), maka: \[ \text{rank}(AA^T) \leq 2 < 4 \Rightarrow \det(AA^T) = 0 \]
Jadi, determinan ada dan nilainya pasti \( 0 \). Maka pernyataan ini benar.

b. Matriks \( AA^T \) belum tentu mempunyai nilai determinan
Salah. Karena \( AA^T \) adalah matriks persegi, maka selalu memiliki determinan yang terdefinisi. Dalam kasus ini, determinannya bahkan selalu nol karena tidak berperingkat penuh.

c. Matriks \( AA^T \) mempunyai invers
Salah. Karena: \[ \det(AA^T) = 0 \Rightarrow AA^T \text{ tidak invertibel} \]
Sehingga pernyataan ini salah.

d. Matriks \( AA^TA \) mempunyai invers
Salah. Matriks ini berukuran \( 4 \times 2 \), sehingga bukan matriks persegi dan tidak mungkin memiliki invers.

Pernyataan berikut yang salah adalah:

Setiap matriks segi merupakan matriks nonsingular. Setiap matriks nonsingular adalah matriks segi. Determinan dari invers suatu matriks tidak akan sama dengan nol. Invers dari sembarang matriks identitas adalah dirinya sendiri. Jika \( I \) adalah matriks identitas dan \( k \) bilangan real tak nol, maka \( (kI)^{-1} = \frac{1}{k} I^{-1} \).

a. Setiap matriks segi merupakan matriks nonsingular
Salah. Matriks segi (persegi) bisa saja singular, yaitu jika determinannya nol. Contoh: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0 \] Maka, tidak semua matriks segi adalah nonsingular.

b. Setiap matriks nonsingular adalah matriks segi
Benar. Hanya matriks persegi yang bisa memiliki invers (alias nonsingular). Matriks tidak segi (misal \( m \times n \) dengan \( m \ne n \)) tidak mungkin memiliki invers.

c. Determinan dari invers suatu matriks tidak akan sama dengan nol
Benar. Jika suatu matriks memiliki invers, maka matriks tersebut nonsingular, artinya: \[ \det(A) \ne 0 \Rightarrow \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \ne 0 \]

d. Invers dari sembarang matriks identitas adalah dirinya sendiri
Benar. Karena: \[ I \cdot I = I \Rightarrow I^{-1} = I \]

e. Jika \( I \) adalah matriks identitas dan \( k \) bilangan real tak nol, maka \( (kI)^{-1} = \frac{1}{k} I^{-1} \)
Benar. Karena: \[ kI \cdot \left(\frac{1}{k} I\right) = \left(k \cdot \frac{1}{k}\right) I^2 = I \Rightarrow (kI)^{-1} = \frac{1}{k} I \]

Diketahui persamaan matriks \( AX - I = O \), dengan:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Tentukan matriks \( X \)!

\[\begin{pmatrix} 5 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 4 & -1 & -2 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} -5 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} -5 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & -2 \end{pmatrix}\]

Karena \( AX = I \), maka \( X = A^{-1} \).
Kita akan mencari \( A^{-1} \) menggunakan metode penghapusan:
Gabungkan \( A \) dengan matriks identitas: \[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \] Lakukan OBE:

\(\overset{E_{31(-2)}}{\sim}\) tambahkan baris ke-3 dengan baris ke-1 yang telah dikali \(-2\):
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \] \(\overset{E_{2(1/2)}}{\sim}\) kalikan baris ke-2 dengan \( \frac{1}{2} \):
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 0 & 1 \end{array} \right) \] \(\overset{E_{31(1)}}{\sim}\) tambahkan baris ke-3 dengan baris ke-2:
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & -0.5 & -2 & 0.5 & 1 \end{array} \right) \] \(\overset{E_{3(-2)}}{\sim}\) kalikan baris ke-3 dengan \(-2\):
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & -1 & -2 \end{array} \right) \] \(\overset{E_{13(-2)} \atop E_{23(-0.5)}}{\sim}\) eliminasi kolom ke-3 di baris ke-1 dan 2:
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & -7 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & -1 & -2 \end{array} \right) \] \(\overset{E_{12(-1)}}{\sim}\) eliminasi kolom ke-2 di baris ke-1:
\[ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -5 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & -1 & -2 \end{array} \right) \] Maka diperoleh: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & -2 \end{pmatrix} \]
Sehingga: \[ \boxed{X = \begin{pmatrix} -5 & 1 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & -2 \end{pmatrix}} \]

Jika matriks \( A_{5\times5} \) adalah matriks taksingular, maka:

\( p(A) = 0 \) \( p(A) = 5 \) \( 0 < p(A) < 5 \) \( p(A) > 5 \)

Matriks taksingular adalah matriks persegi yang memiliki invers dan nilai determinannya tidak nol.
Artinya, baris-barisnya (atau kolom-kolomnya) saling bebas linear.
Dalam konteks ini, \( A \) adalah matriks \( 5 \times 5 \).
Maka, jika \( A \) taksingular, berarti semua baris (atau kolom) bebas linear.
Sehingga, pangkat (rank) dari \( A \) adalah sebanyak jumlah baris atau kolomnya, yaitu:
\[ p(A) = 5 \]
Dengan demikian, jawaban yang benar adalah: \(p(A) = 5\)
Opsi lainnya salah karena:
- \( p(A) = 0 \) berarti semua baris nol, bertentangan dengan definisi taksingular.
- \( 0 < p(A) < 5 \) berarti pangkat kurang dari ordo, yang artinya singular.
- \( p(A) > 5 \) tidak mungkin karena pangkat maksimum dari matriks \( 5 \times 5 \) adalah 5.

Jika diketahui matriks \( A \) dengan \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] maka:

\( p(A^T) = 1 \) \( p(A^T) = 2 \) \( p(A^T) = 3 \) \( p(A^T) = 4 \) \( p(A) = 3 \)

Diberikan matriks \( A \) berukuran \( 3 \times 4 \). Kita ingin mengetahui pangkat dari transpos \( A^T \).
Transpos dari \( A \), yaitu \( A^T \), berukuran \( 4 \times 3 \), dan bentuknya adalah: \[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]
Kita eliminasi baris untuk mengetahui banyaknya baris tak nol pada bentuk eselon baris (pangkat):

Langkah 1: Tukar baris 1 dan 3 supaya pivot awal mudah dikenali:
\[ \overset{E_{13}}{\sim} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]
Langkah 2: Hilangkan entri di bawah pivot kolom 1 menggunakan baris 1:
\[ \overset{E_{41}(1/2)}{\sim} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Langkah 3: Hilangkan entri pada baris 3 kolom 2 dengan baris 2:
\[ \overset{E_{32}(-3)}{\sim} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Dari bentuk akhir terlihat hanya ada 2 baris tak nol.
Maka, \[ p(A^T) = 2 \]
Jadi, jawaban yang benar adalah: \[ \boxed{p(A^T) = 2} \]
Sedangkan: - \( p(A) = p(A^T) = 2 \), karena pangkat dari suatu matriks sama dengan transposnya.
Maka pilihan \(p(A) = 3\) juga salah.

Jika diketahui matriks \( A \) dengan \[ A = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] agar \( p(A) = 2 \), maka:

\( a = 0 \) dan \( b = 0 \) \( a \ne 0 \) dan \( b \ne 0 \) \( a \ne 0 \) atau \( b \ne 0 \) Jika \( a = 0 \), maka \( b \ne 0 \) Jika \( b = 0 \), maka \( a \ne 0 \)

Matriks \( A \) berukuran \( 3 \times 4 \). Pangkat matriks \( A \) adalah jumlah baris tak nol setelah reduksi baris eselon.
Kita analisis setiap baris:
- Baris ke-2 adalah \( (0,1,3,2) \), sudah pasti tak nol.
- Baris ke-3 adalah \( (0,0,0,4) \), juga tak nol.
Maka dua baris sudah pasti tak nol. Untuk agar \( p(A) = 2 \), baris pertama harus nol semua.

Jadi kita perlu baris ke-1 adalah \( (0, 0, 0, 0) \). Ini terjadi jika dan hanya jika: \[ a = 0 \quad \text{dan} \quad b = 0 \] Karena jika salah satu dari \( a \) atau \( b \) tak nol, maka baris ke-1 menjadi baris tak nol.

Analisis pilihan:
a. \( a = 0 \) dan \( b = 0 \) ⟶ Benar, karena hanya dalam kasus ini baris ke-1 menjadi nol semua.

b. \( a \ne 0 \) dan \( b \ne 0 \) ⟶ Salah, karena baris ke-1 jadi tak nol → \( p(A) = 3 \)

c. \( a \ne 0 \) atau \( b \ne 0 \) ⟶ Salah, cukup satu saja tak nol, maka baris pertama ≠ nol

d. Jika \( a = 0 \), maka \( b \ne 0 \) ⟶ Salah, misalnya \( a = 0 \) dan \( b \ne 0 \) → baris pertama tak nol → \( p(A) = 3 \)

e. Jika \( b = 0 \), maka \( a \ne 0 \) ⟶ Salah, alasannya sama seperti d.

Kesimpulan:
Agar \( p(A) = 2 \), maka hanya opsi a yang benar: \( a = 0 \) dan \( b = 0 \)

Jika diketahui matriks A dengan

\[ B = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \]

agar \( p(B^T) \ne 2 \), maka:

\( a \ne 0 \) atau \( b \ne 0 \) \( a = 0 \) dan \( b = 0 \) \( a^2+b^2=0 \) Jika \( a = 0 \), maka \( b = 0 \) Jika \( b = 0 \), maka \( a = 0 \)

Kita diberikan matriks:
\[ B = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \] Kita diminta agar \( p(B^T) \ne 2 \).
Kita gunakan sifat bahwa:
\[ \text{rank}(B^T) = \text{rank}(B) \] Jadi, kita cukup mencari kondisi agar \( \text{rank}(B) \ne 2 \).

Matriks \( B \) berukuran \( 3 \times 4 \), maka rank maksimalnya adalah 3.
Kita perhatikan baris-baris dari \( B \).
Baris ketiga adalah \( (0, 0, 0, 4) \), yang tidak nol, maka pasti independen → menyumbang 1 rank.
Baris kedua adalah \( (0, 1, 3, 2) \), juga tidak bisa dibentuk dari baris ketiga → menyumbang 1 rank lagi.
Baris pertama adalah \( (a, b, 0, 0) \).

Apakah baris pertama dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari baris kedua dan ketiga?
Jika \( a = 0 \) dan \( b = 0 \), maka baris pertama adalah nol → tidak menyumbang rank.
Maka, hanya dua baris yang menyumbang rank → \( \text{rank}(B) = 2 \).

Tapi jika \( a \ne 0 \) atau \( b \ne 0 \), maka baris pertama tidak nol dan tidak searah dengan baris kedua atau ketiga → akan independen → rank menjadi 3.

Maka, agar \( \text{rank}(B) \ne 2 \), baris pertama **harus tidak nol**, yaitu: \[ a \ne 0 \quad \text{atau} \quad b \ne 0 \] Sehingga jawaban yang benar adalah: a ≠ 0 atau b ≠ 0.