Matriks dan Operasi Baris Dasar

🔒 Halaman Ini Terkunci

Masukkan passcode untuk mengakses konten lengkap:

👁

Soal dan pembahasan:

Misalkan diberikan matriks \( A \) yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut.

\[ A=(a_{ij})_{2\times 3}, \text{ dengan } a_{ij}=\begin{cases} i^2-1,& i+j=3\\ j+1, & \text{selainnya} \end{cases} \]

Tentukan \( AA^T \).

Langkah pertama, kita tentukan elemen-elemen dari matriks \( A \):

• \( a_{11} = 2 \), karena \( 1+1 \ne 3 \Rightarrow j+1 = 2 \)
• \( a_{12} = 0 \), karena \( 1+2 = 3 \Rightarrow i^2 - 1 = 0 \)
• \( a_{13} = 4 \), karena \( 1+3 \ne 3 \Rightarrow j+1 = 4 \)
• \( a_{21} = 3 \), karena \( 2+1 = 3 \Rightarrow i^2 - 1 = 3 \)
• \( a_{22} = 3 \), karena \( 2+2 \ne 3 \Rightarrow j+1 = 3 \)
• \( a_{23} = 4 \), karena \( 2+3 \ne 3 \Rightarrow j+1 = 4 \)

Sehingga:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 3 & 3 & 4 \end{bmatrix} \]

Selanjutnya, kita hitung \( AA^T \):

\[ A^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} \]

\[ AA^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 3 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}\]

\[ = \begin{bmatrix} (2)(2) + (0)(0) + (4)(4) & (2)(3) + (0)(3) + (4)(4) \\ (3)(2) + (3)(0) + (4)(4) & (3)(3) + (3)(3) + (4)(4) \end{bmatrix} \]

\[ = \begin{bmatrix} 4 + 0 + 16 & 6 + 0 + 16 \\ 6 + 0 + 16 & 9 + 9 + 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 22 \\ 22 & 34 \end{bmatrix} \]

Jadi, hasil perkalian \( AA^T \) adalah:

\[ AA^T = \begin{bmatrix} 20 & 22 \\ 22 & 34 \end{bmatrix} \]

Misalkan diberikan matriks \( A \) yang elemen-elemennya didefinisikan sebagai berikut.

\[ A = (a_{ij})_{2 \times 3}, \text{ dengan } a_{ij} = \begin{cases} i - j, & i < j \\ 0, & i = j \\ -a_{ji}, & i > j \end{cases} \]

Tentukan \( A^T A \).

Karena \( A \) berukuran \( 2 \times 3 \), maka indeks baris \( i = 1, 2 \) dan indeks kolom \( j = 1, 2, 3 \). Kita hitung elemen-elemen matriks \( A \) satu per satu:

\[ \begin{aligned} a_{11} &= 0 \\ a_{12} &= 1 - 2 = -1 \\ a_{13} &= 1 - 3 = -2 \\ a_{21} &= -a_{12} = -(-1) = 1 \\ a_{22} &= 0 \\ a_{23} &= 2 - 3 = -1 \end{aligned} \]

Sehingga matriks \( A \) adalah:

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \]

Selanjutnya, kita hitung \( A^T A \). Matriks \( A^T \) berukuran \( 3 \times 2 \), sehingga \( A^T A \) akan berukuran \( 3 \times 3 \).

\[ A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \]

\[ A^T A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \]

\[ = \begin{bmatrix} (0)(0)+(1)(1) & (0)(-1)+(1)(0) & (0)(-2)+(1)(-1) \\ (-1)(0)+(0)(1) & (-1)(-1)+(0)(0) & (-1)(-2)+(0)(-1) \\ (-2)(0)+(-1)(1) & (-2)(-1)+(-1)(0) & (-2)(-2)+(-1)(-1) \end{bmatrix} \]

\[ = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \]

Jadi, hasil dari \( A^T A \) adalah:

\[ A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \]

Diketahui matriks‑matriks

\[ A=\begin{bmatrix}2\\3\\-4\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}2 & -5\end{bmatrix}, \quad C=\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 0 & -3 & 2 \end{bmatrix} \]

Tentukan

1. \(AB\)
2. \(A + (BC)^T\)

a. Menghitung \(AB\)

Ukuran: \(A:3\times1,\; B:1\times2\)  →  hasil \(AB\) berukuran \(3\times2\).

\[ AB = \underbrace{\begin{bmatrix}2\\3\\-4\end{bmatrix}}_{3\times1} \, \underbrace{\begin{bmatrix}2 & -5\end{bmatrix}}_{1\times2} = \begin{bmatrix} (2)(2) & (2)(-5)\\[4pt] (3)(2) & (3)(-5)\\[4pt] (-4)(2) & (-4)(-5) \end{bmatrix} = {\begin{bmatrix} 4 & -10\\ 6 & -15\\ -8 & 20 \end{bmatrix}} \]

---

b. Menghitung \(A + (BC)^T\)

1. Hitung \(BC\)

\[ BC= \begin{bmatrix}2 & -5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1\\ 0 & -3 & 2 \end{bmatrix} \]\[= \begin{bmatrix} (2)(2) + (-5)(0) & (2)(0) + (-5)(-3) & (2)(-1)+(-5)(2) \end{bmatrix} \]\[= \begin{bmatrix}4 & 15 & -12\end{bmatrix} \]

2. Transpos \(BC\)

\[ (BC)^T=\begin{bmatrix}4\\15\\-12\end{bmatrix} \]

3. Jumlahkan dengan \(A\)

\[ A + (BC)^T = \begin{bmatrix}2\\3\\-4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}4\\15\\-12\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6\\18\\-16\end{bmatrix} \]

Tentukan nilai \(a\) dan \(b\) yang memenuhi persamaan berikut:

\[ \begin{pmatrix} a & 2 \\ 5 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 1 - \dfrac{a}{2} & 1 \end{pmatrix} \]

Diketahui persamaan matriks:

\[ \begin{pmatrix} a & 2 \\ 5 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 1 - \dfrac{a}{2} & 1 \end{pmatrix} \]

Langkah 1: Kalikan dua matriks pertama

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 + 2a + b & 2 + 2a \\ a + 3 & 2a + 2 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

Langkah 2: Kalikan skalar 2 dengan matriks kedua

\[ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 1 - \dfrac{a}{2} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2a \\ 2 - a & 2 \end{pmatrix} \]

Langkah 3: Jumlahkan hasil dua matriks

\[ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 2a + b + 1 & 2a + 2 \\ a + 3 & 2a + 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -2a \\ 2 - a & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b + 3 & 2 \\ 5 & 2a + 4 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

Langkah 4: Samakan dengan matriks sebelah kiri

\[ \begin{pmatrix} a & 2 \\ 5 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + b + 3 & 2 \\ 5 & 2a + 4 \end{pmatrix} \]

Maka dari itu, dengan menyamakan elemen-elemen:

\[ \begin{cases} a = 2a + b + 3 \\ b = 2a + 4 \end{cases} \]

Substitusi dan Penyelesaian

\[ a = 2a + (2a + 4) + 3 = 4a + 7 \Rightarrow -3a = 7 \Rightarrow a = -\dfrac{7}{3} \]

\[ b = 2a + 4 = 2 \left(-\dfrac{7}{3} \right) + 4 = -\dfrac{14}{3} + \dfrac{12}{3} = -\dfrac{2}{3} \]

Jadi, nilai yang memenuhi adalah:

\[ a = -\dfrac{7}{3}, \quad b = -\dfrac{2}{3} \]

Diketahui

\[ A = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \]

dan memenuhi

\[ ABC = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -3 & -6 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]

Tentukan nilai \(x\) dan \(y\).

Langkah 1: Kalikan Matriks A dan B

Untuk memulai, kita harus mengalikan matriks \( A \) dengan matriks \( B \). Matriks \( A \) memiliki ukuran \( 3 \times 1 \) dan matriks \( B \) memiliki ukuran \( 1 \times 2 \), jadi hasil perkaliannya akan menghasilkan matriks dengan ukuran \( 3 \times 2 \), yang akan disebut sebagai \( AB \).

Perkalian matriks \( A \) dan \( B \) adalah:

\[ AB = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2y \\ -2x & -2y \\ 2x & 2y \end{pmatrix} \]

Langkah 2: Kalikan Matriks AB dengan Matriks C

Selanjutnya, kita kalikan hasil \( AB \) dengan matriks \( C \), yang memiliki ukuran \( 2 \times 2 \). Matriks \( AB \) berukuran \( 3 \times 2 \) dan matriks \( C \) berukuran \( 2 \times 2 \), sehingga hasil perkalian \( ABC \) akan menghasilkan matriks \( 3 \times 2 \).

Perkalian matriks \( AB \) dan \( C \) adalah:

\[ ABC = \begin{pmatrix} 2x & 2y \\ -2x & -2y \\ 2x & 2y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \]

Kalikan setiap elemen matriks:

\[ ABC = \begin{pmatrix} (2x)(1) + (2y)(-2) & (2x)(2) + (2y)(1) \\ (-2x)(1) + (-2y)(-2) & (-2x)(2) + (-2y)(1) \\ (2x)(1) + (2y)(-2) & (2x)(2) + (2y)(1) \end{pmatrix} \]

Sederhanakan hasilnya:

\[ ABC = \begin{pmatrix} 2x - 4y & 4x + 2y \\ -2x + 4y & -4x - 2y \\ 2x - 4y & 4x + 2y \end{pmatrix} \]

Langkah 3: Samakan dengan Matriks Hasil yang Diketahui

Diketahui bahwa:

\[ ABC = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -3 & -6 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]

Kita samakan elemen-elemen matriks hasil perkalian dengan matriks yang diketahui:

\[ \begin{pmatrix} 2x - 4y & 4x + 2y \\ -2x + 4y & -4x - 2y \\ 2x - 4y & 4x + 2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -3 & -6 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \]

Langkah 4: Menyusun Sistem Persamaan

Dari persamaan matriks di atas, kita bisa menyusun sistem persamaan berdasarkan elemen-elemen yang bersesuaian:

• Persamaan 1: \( 2x - 4y = 3 \)
• Persamaan 2: \( 4x + 2y = 6 \)
• Persamaan 3: \( -2x + 4y = -3 \)
• Persamaan 4: \( -4x - 2y = -6 \)

Namun, kita hanya perlu dua persamaan yang cukup untuk mencari nilai \( x \) dan \( y \). Kita akan menggunakan persamaan 1 dan 2:

Langkah 5: Penyelesaian Sistem Persamaan

Persamaan pertama adalah:

\[ 2x - 4y = 3 \]

Pada persamaan kedua:

\[ 4x + 2y = 6 \]

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Kita mulai dengan menyelesaikan persamaan kedua untuk \( y \):

\[ 4x + 2y = 6 \quad \Rightarrow \quad 2y = 6 - 4x \quad \Rightarrow \quad y = 3 - 2x \]

Substitusikan nilai \( y \) ke persamaan pertama:

\[ 2x - 4(3 - 2x) = 3 \]

Sederhanakan:

\[ 2x - 12 + 8x = 3 \quad \Rightarrow \quad 10x - 12 = 3 \quad \Rightarrow \quad 10x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{3}{2} \]

Substitusikan nilai \( x = \dfrac{3}{2} \) ke persamaan \( y = 3 - 2x \):

\[ y = 3 - 2\left(\dfrac{3}{2}\right) = 3 - 3 = 0 \]

Jadi, nilai yang memenuhi adalah:

\[ x = \dfrac{3}{2}, \quad y = 0 \]

Diketahui matriks

\[ A = \begin{pmatrix} 6 & 8 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2p & 2 & 0 \end{pmatrix} \]

Tentukan matriks \( B \) sehingga

\[ B = E_{31(-2p)} E_{21(-3)} E_{2\left(\frac{1}{2}\right)} E_{12}(A) \]

1. Operasi \( E_{12} \): Tukar baris ke-1 dan ke-2. \[ \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 6 & 8 & 2 \\ 2p & 2 & 0 \end{pmatrix} \]
2. Operasi \( E_{2\left(\frac{1}{2}\right)} \): Kalikan baris ke-2 dengan \( \frac{1}{2} \). \[ \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2p & 2 & 0 \end{pmatrix} \]
3. Operasi \( E_{21(-3)} \): Tambahkan -3 × baris ke-1 ke baris ke-2. \[ \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -8 & 1 \\ 2p & 2 & 0 \end{pmatrix} \]
4. Operasi \( E_{31(-2p)} \): Tambahkan -2p × baris ke-1 ke baris ke-3. \[ \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -8 & 1 \\ 0 & 2 - 8p & 0 \end{pmatrix} \]

atau dengan lebih ringkas:

\[ \begin{pmatrix} 6 & 8 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2p & 2 & 0 \end{pmatrix} \overset{E_{12}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 6 & 8 & 2 \\ 2p & 2 & 0 \end{pmatrix} \overset{E_{2\left(\frac{1}{2}\right)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2p & 2 & 0 \end{pmatrix} \]

\[ \overset{E_{21(-3)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -8 & 1 \\ 2p & 2 & 0 \end{pmatrix} \overset{E_{31(-2p)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -8 & 1 \\ 0 & 2 - 8p & 0 \end{pmatrix} \]

Diketahui matriks \( A \) sebagai berikut:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \]

Lakukan serangkaian Operasi Baris Dasar (OBD) berturut-turut terhadap matriks \( A \), sehingga dihasilkan suatu matriks segitiga atas dengan semua elemen diagonal bernilai 1.

Versi 1: Tanpa operasi pindah baris

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \overset{E_{21(4)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 10 & 17 \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \overset{E_{31(-3)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 10 & 17 \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \overset{E_{2\left(\frac{1}{10}\right)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{17}{10} \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix} \overset{E_{32(5)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{17}{10} \\ 0 & 0 & \frac{27}{2} \end{pmatrix} \overset{E_{3\left(\frac{2}{27}\right)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{17}{10} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

---

Versi lain: Pilih nilai absolut pivot terkecil. Akan memudahkan penghitungan manual, tetapi sering kali pada penerapannya kurang stabil secara komputasi.

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \overset{E_{21(4)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 10 & 17 \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \overset{E_{31(-3)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 10 & 17 \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix} \]

Cek nilai absolut untuk menentukan pivot kolom 2:
- Baris 2: \( |10| \)
- Baris 3: \( |-5| \) (terkecil)
Tukar baris 2 dan 3: \( E_{23} \)

\[ \overset{E_{23}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -5 & 1 \\ 0 & 10 & 17 \end{pmatrix} \overset{E_{2\left(-\frac{1}{5}\right)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 10 & 17 \end{pmatrix} \overset{E_{32(-10)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 15 \end{pmatrix} \]

\[ \overset{E_{3\left(\frac{1}{15}\right)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

---

Versi yang stabil secara komputasi: pilih pivot dengan nilai absolut paling tinggi.

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -4 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \overset{E_{12}}{\sim} \begin{pmatrix} -4 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \overset{E_{1(-\frac{1}{4})}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{4} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \]

\[ \overset{E_{21(-1)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{4} \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{17}{4} \\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix} \overset{E_{31(-3)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{4} \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{17}{4} \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{55}{4} \end{pmatrix} \]

Baris 2 dan 3 memiliki nilai pivot sama (keduanya \( \frac{5}{2} \)), tidak perlu tukar.

\[ \overset{E_{2(\frac{2}{5})}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{17}{10} \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{55}{4} \end{pmatrix} \overset{E_{32(-\frac{5}{2})}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{17}{10} \\ 0 & 0 & \frac{27}{2} \end{pmatrix} \overset{E_{3(\frac{2}{27})}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{17}{10} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Diketahui matriks A sebagai berikut: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \] Lakukan serangkaian operasi baris elementer sehingga A ekuivalen baris dengan matriks identitas \( I_3 \).

Diketahui matriks: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \overset{E_{31(-2)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -5 \end{pmatrix} \overset{E_{3(-\frac{1}{5})}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \overset{E_{23(-4)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \overset{E_{13(-3)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \overset{E_{12(-2)}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Usia Didi tahun lalu sama dengan dua kali usia Jeni tahun lalu. Bila usia Didi empat tahun lalu dijumlahkan dengan usia Jeni empat tahun lalu, maka hasilnya sama dengan dua kali usia Jeni saat ini.
a. Rumuskan masalah di atas dalam bentuk SPL.
b. Tentukan penyelesaian masalah di atas.

Misalkan:
\(x\) = usia Didi saat ini
\(y\) = usia Jeni saat ini

Dari pernyataan:
- "Usia Didi tahun lalu sama dengan dua kali usia Jeni tahun lalu"
→ \(x - 1 = 2(y - 1)\)

- "Usia Didi empat tahun lalu dijumlahkan dengan usia Jeni empat tahun lalu sama dengan dua kali usia Jeni saat ini"
→ \((x - 4) + (y - 4) = 2y\)

Maka sistem persamaan linear (SPL):
\[\begin{cases} x - 1 = 2(y - 1)\\ (x - 4) + (y - 4) = 2y \end{cases}\]

Sederhanakan persamaan:
\[\begin{cases} x = 2y - 1\\ x - y = 8 \end{cases}\] Substitusi \(x = 2y - 1\) ke persamaan \(x - y = 8\):
\((2y - 1) - y = 8\)
\(y - 1 = 8\)
\(y = 9\)

Maka \(x = 2y - 1 = 2(9) - 1 = 17\)

Jadi, usia Didi saat ini adalah 17 tahun dan usia Jeni saat ini adalah 9 tahun.

Untuk suatu pesta panitia membuat 2 jenis roti, yaitu Roti 1 dan Roti 2. Untuk membuat 1 satuan Roti 1 dibutuhkan 1 satuan tepung terigu, 2 satuan telur, dan 1 satuan gula pasir. Sedangkan untuk membuat 1 satuan Roti 2 dibutuhkan 1 satuan tepung terigu, 3 satuan telur, dan 4 satuan gula pasir. Bahan yang tersedia adalah 30 satuan tepung terigu, 70 satuan telur, dan 60 satuan gula pasir. Jika semua bahan yang tersedia harus habis maka

a. Rumuskan masalah di atas dalam bentuk SPL.
b. Tentukan penyelesaian masalah di atas.

Misalkan:
\(x\) = jumlah satuan Roti 1 yang dibuat
\(y\) = jumlah satuan Roti 2 yang dibuat

Berdasarkan informasi pada soal:

Bahan	Kebutuhan per Roti 1	Kebutuhan per Roti 2	Total Tersedia
Tepung Terigu	1	1	30
Telur	2	3	70
Gula Pasir	1	4	60

Jadi, diperoleh:
- Tepung terigu: \(1x + 1y = 30\)
- Telur: \(2x + 3y = 70\)
- Gula pasir: \(1x + 4y = 60\)

Maka sistem persamaan linear (SPL):
\begin{cases} x + y = 30\\ 2x + 3y = 70\\ x + 4y = 60 \end{cases} Dari (1): \(x = 30 - y\)
Substitusi ke (2):
\(2(30 - y) + 3y = 70\)
\(60 - 2y + 3y = 70\)
\(y = 10\)

Maka
\(x = 30 - 10 = 20\)

Cek ke (3):
\(x + 4y = 20 + 4×10 = 60\) ✔️

Jadi, jumlah Roti 1 yang dibuat adalah 20 satuan, dan Roti 2 adalah 10 satuan.

Nilai \( x \) yang memenuhi persamaan:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -8 \\ 3x & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 6 & -10 \end{bmatrix} \]

adalah ....

2 5 3 -2 -4

Hitung terlebih dahulu hasil perkalian matriks kiri: \[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-4) \\ 3 \cdot 2 + x \cdot 3 & 3 \cdot 0 + x \cdot (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -8 \\ 6 + 3x & -4x \end{bmatrix} \] Jumlahkan dua matriks di kanan: \[ \begin{bmatrix} 6 & -8 \\ 3x & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 6 & -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -8 \\ 3x + 6 & -8 \end{bmatrix} \] Samakan kedua matriks: \[ \begin{bmatrix} 8 & -8 \\ 6 + 3x & -4x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -8 \\ 3x + 6 & -8 \end{bmatrix} \] Dari elemen baris kedua kolom kedua: \[ -4x = -8 \Rightarrow x = 2 \]

Matriks-matriks \( A = (a_{ij})_{3 \times 3} \) dan \( B = (b_{ij})_{2 \times 3} \) didefinisikan sebagai berikut:

\[ a_{ij} = \begin{cases} i - j & \text{jika } i > j \\ i & \text{jika } i = j \\ i + j & \text{jika } i < j \end{cases} \quad \text{untuk } A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \]

\[ b_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{jika } i \le j \\ 2 & \text{jika } i > j \end{cases} \quad \text{untuk } B \in \mathbb{R}^{2 \times 3} \]

Jika \( AB^T = \begin{pmatrix} a & 9 \\ 8 & b \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \), maka nilai \( a + b = \, ? \)

10 13 15 17 19

Pertama, kita bentuk matriks \( A \) berdasarkan definisi: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1+2=3 & 1+3=4 \\ 2-1=1 & 2 & 2+3=5 \\ 3-1=2 & 3-2=1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] Sekarang bentuk matriks \( B \) dan transposenya \( B^T \). Matriks \( B \) adalah \( 2 \times 3 \), maka: \[ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix} \] Hitung satu per satu:
* Baris 1: \( i = 1 \le j \Rightarrow b_{1j} = 1 \Rightarrow \) Baris 1: \( (1,1,1) \)
* Baris 2:
- \( j=1: 2 > 1 \Rightarrow 2 \)
- \( j=2: 2 = 2 \Rightarrow 1 \)
- \( j=3: 2 < 3 \Rightarrow 1 \)
Jadi Baris 2: \( (2,1,1) \)

Maka: \[ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] Sekarang hitung \( AB^T \), yaitu: \[ AB^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] Hitung satu per satu elemen hasil:
* Baris 1:
- Kolom 1: \( 1\cdot1 + 3\cdot1 + 4\cdot1 = 1+3+4 = 8 \Rightarrow a = 8 \)
- Kolom 2: \( 1\cdot2 + 3\cdot1 + 4\cdot1 = 2+3+4 = 9 \)
* Baris 2:
- Kolom 1: \( 1\cdot1 + 2\cdot1 + 5\cdot1 = 1+2+5 = 8 \)
- Kolom 2: \( 1\cdot2 + 2\cdot1 + 5\cdot1 = 2+2+5 = 9 \Rightarrow b = 9 \)
* Baris 3:
- Kolom 1: \( 2\cdot1 + 1\cdot1 + 3\cdot1 = 2+1+3 = 6 \)
- Kolom 2: \( 2\cdot2 + 1\cdot1 + 3\cdot1 = 4+1+3 = 8 \)

Jadi: \[ AB^T = \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 8 & 9 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \Rightarrow a = 8, \quad b = 9 \Rightarrow a + b = 17 \] Jawaban: \( \boxed{17} \)

Misalkan diberikan matriks yang diperbesar dari suatu SPL:
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & 6 & -11 & -3 \\ 1 & -2 & 10 & 12 \end{array}\right] \] Dengan melakukan operasi baris dasar berturut-turut terhadap matriks di atas, akan diperoleh matriks berikut:
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & a & -3 \\ 0 & 0 & 1 & b \end{array}\right] \] Nilai \( a + b = \, \ldots \)

17 7 1 -3 -7

Matriks awal:
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & 6 & -11 & -3 \\ 1 & -2 & 10 & 12 \end{array}\right] \]
Operasi pertama: \( E_{21(-2)} \) → Baris 2 dikurangi 2 × Baris 1
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 1 & -2 & 10 & 12 \end{array}\right] \]
Operasi kedua: \( E_{31(-1)} \) → Baris 3 dikurangi Baris 1
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & -4 & 13 & 12 \end{array}\right] \]
Operasi ketiga: \( E_{32(2)} \) → Baris 3 ditambah 2 × Baris 2
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \end{array}\right] \]
Dari sini, diperoleh \( a = -5 \)

Operasi keempat: \( E_{3(\frac{1}{3})} \) → Baris 3 dibagi 3
\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right] \]
Maka, \( b = 2 \)

Jadi:
\[ a + b = -5 + 2 = -3 \]
Jawaban: \( \boxed{-3} \)

Jumlah dua bilangan cacah adalah 18 dan selisih kedua bilangan itu adalah 2. Hasil kali kedua bilangan itu adalah ...

20 40 80 120 160

- Misalkan:
Dua bilangan cacah tersebut adalah \( x \) dan \( y \), dengan \( x > y \)

- Model SPL:
Dari informasi yang diberikan:
\[ \begin{cases} x + y = 18 \\ x - y = 2 \end{cases} \]
- Solusi SPL:
Tambahkan kedua persamaan:
\[ (x + y) + (x - y) = 18 + 2 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10 \]
Substitusikan ke salah satu persamaan:
\[ x + y = 18 \Rightarrow 10 + y = 18 \Rightarrow y = 8 \]
- Jadi:
Kedua bilangan tersebut adalah 10 dan 8
Hasil kali kedua bilangan tersebut adalah:
\[ 10 \times 8 = 80 \]
Jawaban: \( \boxed{80} \)