Fungsi Linear, Kuadratik, dan Sesepenggal

🔒 Halaman Ini Terkunci

Masukkan passcode untuk mengakses konten lengkap:

👁

Soal dan pembahasan:

Diberikan fungsi \( f \) berikut:

\[ f(x) = \begin{cases} 5 - x & \text{jika } -4 \leq x \leq -1 \\ 2 - 2x^2 & \text{jika } -1 < x < 2 \\ 2x - 10 & \text{jika } 2 \leq x \leq 5 \end{cases} \]
(a) Hitung \( f(-1) \), \( f(2) \), dan \( f(5) \).
(b) Buat sketsa grafik fungsi \( f \).
(c) Tentukan daerah asal (domain) dan daerah hasil (range) fungsi \( f \).

(a) Menghitung nilai-nilai fungsi:
- \( f(-1) \): karena \( -1 \in [-4, -1] \), maka \( f(-1) = 5 - (-1) = 6 \)
- \( f(2) \): karena \( 2 \in [2, 5] \), maka \( f(2) = 2(2) - 10 = 4 - 10 = -6 \)
- \( f(5) \): karena \( 5 \in [2, 5] \), maka \( f(5) = 2(5) - 10 = 10 - 10 = 0 \)

(b) Sketsa grafik fungsi:
- Pada interval \([-4, -1]\), grafik adalah garis lurus menurun: \( y = 5 - x \)
- Pada interval \((-1, 2)\), grafik adalah parabola terbuka ke bawah: \( y = 2 - 2x^2 \)
- Pada interval \([2, 5]\), grafik adalah garis lurus naik: \( y = 2x - 10 \)

(c) Domain:
Gabungan seluruh interval:
\[ \text{Domain } f = [-4, -1] \cup (-1, 2) \cup [2, 5] = [-4, 5] \]

Range:
- Untuk \( x \in [-4, -1] \): \( y = 5 - x \), dari \( f(-4) = 9 \) hingga \( f(-1) = 6 \) → range: [6, 9]
- Untuk \( x \in (-1, 2) \): \( y = 2 - 2x^2 \), minimum di \( x = \pm 2 \) → \( y = 2 - 8 = -6 \), maksimum di \( x = 0 \) → \( y = 2 \) → range: (−6, 2)
- Untuk \( x \in [2, 5] \): \( y = 2x - 10 \), dari \( f(2) = -6 \) sampai \( f(5) = 0 \) → range: [−6, 0]

Gabungan range:
\[ \text{Range } f = [6, 9] \cup (-6, 2) \cup [-6, 0] \]
Disederhanakan menjadi:
\[ \text{Range } f = [-6, 2) \cup [6, 9] \]

Jawaban:
(a) \( f(-1) = 6 \), \( f(2) = -6 \), \( f(5) = 0 \)
(b) Grafik terdiri dari garis menurun, parabola terbuka ke bawah, dan garis naik.
(c) Domain: \([-4, 5]\)
Range: \([-6, 2) \cup [6, 9]\)

Di kampus IPB beroperasi dua penyedia jasa skuter listrik: FlyRides dan WheelBee. FlyRides menerapkan tarif muka (up-front fee) sebesar Rp2000 sekali pakai ditambah tarif penggunaan Rp590 per menit. WheelBee menerapkan tarif muka sebesar Rp1600 dan tarif penggunaan Rp630 per menit. Kapan FlyRides menjadi pilihan yang lebih menguntungkan?

Definisikan:
\(F(x)\) : besarnya biaya penggunaan FlyRides selama x menit,
\(W(x)\) : besarnya biaya penggunaan WheelBee selama x menit.

Diperoleh:
\(F(x) = 2000 + 590x\)
\(W(x) = 1600 + 630x\)

FlyRides menjadi pilihan yang lebih menguntungkan ketika \(2000 + 590x < 1600 + 630x\) atau \(x > 10\) menit.

Untuk mendukung pencapaian SDGs, sejumlah mahasiswa PKU yang tergabung dalam PKU Waste Warriors mengumpulkan botol plastik untuk didaur ulang. Saat ini mereka sudah mengumpulkan 120 kilogram botol plastik yang siap disetor ke bank sampah. Harga yang ditetapkan Bank Sampah IPB ialah sebesar Rp5000,00 per kilogram. Namun, karena pasar sampah daur ulang sedang mengalami kejenuhan, harga botol plastik mengalami penurunan sebesar Rp100,00 per kilogram per hari. Jika PKU Waste Warriors dapat terus mengumpulkan botol plastik sebanyak 4 kilogram per hari, kapan sebaiknya mereka menjual botol plastik tersebut ke Bank Sampah IPB sehingga memaksimumkan penerimaan?

Misalkan \(x\) adalah banyaknya hari hingga saat penjualan. Banyaknya botol plastik yang dapat dikumpulkan setelah \(x\) hari adalah \(120 + 4x\), sedangkan harga botol plastik setelah \(x\) hari adalah \(5000-100x\). Jika \(R(x)\) adalah besarnya penerimaan setelah \(x\) hari, maka

\(R(x) = (120 + 4x)(5000-100x) = -400x^2 + 8000x + 600000\)

Persamaan kuadratik di atas memiliki parameter \(a = -400\), \(b = 8000\), dan \(c = 600000\), sehingga nilai \(R\) maksimum terjadi di titik

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8000}{2(-400)} = 10\)

Jadi sebaiknya Kalkulusiana menjual botol plastik tersebut 10 hari kemudian sambil terus mengumpulkan botol plastik.

CopyHub 60 memasang harga promo bagi pelanggannya. Untuk 50 lembar pertama dikenai harga normal yakni Rp200,00 per lembar. Harga berkurang Rp50,00 per lembar dari harga normal untuk lembar ke-51 sampai dengan lembar ke-100. Sedangkan untuk lembar ke-101 dan seterusnya, harga berkurang sebesar Rp100,00 per lembar dari harga normal. Jika \(f(x)\) merupakan fungsi harga fotokopi sebagai fungsi dari jumlah lembar fotokopi \(x\), tentukan formulasi \(f(x)\). Berikan juga sketsa grafik \(f\).

Diperoleh fungsi sesepenggal:

\[f(x) = \begin{cases} 200x & \text{jika } 0 \leq x \leq 50 \\ 10000 + 150(x - 50) & \text{jika } 50 < x \leq 100 \\ 17500 + 100(x - 100) & \text{jika } x > 100 \end{cases}\] \[ f(x) = \begin{cases} 200x & \text{jika } 0 \leq x \leq 50 \\ 2500 + 150x & \text{jika } 50 < x \leq 100 \\ 7500 + 100x & \text{jika } x > 100 \end{cases} ;\quad x \in \mathbb{Z} \]

Jika \(x_1\) dan \(x_2\) merupakan akar-akar persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\), tunjukkan berlaku: \(x_1 + x_2 = -b/a\) dan \(x_1x_2 = c/a\).

Persamaan kuadrat \( ax^2 + bx + c = 0 \) memiliki akar-akar seperti diberikan oleh Rumus ABC:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \] dengan \( D = b^2 - 4ac \).

Oleh karena itu:

\[ x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a} \]

dan

\[ x_1 x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \right) \left( \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \right) = \frac{(-b)^2 - D}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a} \]

Garis pertama memiliki gradien \(-\frac{2}{5}\) dan melewati titik \((10, 4)\). Garis kedua melewati titik-titik \((-3, 5)\) dan \((-2, 4)\). Jika kedua garis berpotongan di titik \((a, b)\), maka nilai \(a + b\) adalah ....

-2 0 2 4 6

Garis pertama:
Diketahui gradien \(m = -\frac{2}{5}\) dan melalui titik \((10, 4)\).
Gunakan persamaan garis: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 4 = -\frac{2}{5}(x - 10)\)
\(y - 4 = -\frac{2}{5}x + 4\)
\(y = -\frac{2}{5}x + 8\)

Garis kedua:
Melalui titik \((-3, 5)\) dan \((-2, 4)\)
Gradien: \(m = \frac{4 - 5}{-2 - (-3)} = \frac{-1}{1} = -1\)
Gunakan titik \((-3, 5)\):
\(y - 5 = -1(x + 3)\)
\(y = -x + 2\)

Substitusi untuk mencari titik potong:
\(-\frac{2}{5}x + 8 = -x + 2\)
Tambah \(x\) ke kedua sisi:
\(\frac{3}{5}x + 8 = 2\)
\(\frac{3}{5}x = -6\)
\(x = -10\)

Substitusikan \(x = -10\) ke salah satu persamaan:
\(y = -x + 2 = 10 + 2 = 12\)

Titik potong: \((-10, 12)\), sehingga \(a + b = -10 + 12 = 2\)

Jawaban: c. 2

Nilai akhir mata kuliah MBL ditentukan dengan aturan: 40% nilai UTS, 50% nilai UAS, dan 10% nilai Kuis. Ronaldo menyesal memperoleh nilai UTS rendah 40 dan nilai kuis 80. Agar dapat AB, nilai akhir Ronaldo tidak boleh kurang dari 70. Tentukan nilai UAS terkecil yang harus diperoleh Ronaldo agar dia dapat setidaknya AB.

90 91 92 93 94

Diketahui:
- Nilai UTS = 40 (bobot 40%)
- Nilai Kuis = 80 (bobot 10%)
- Nilai akhir minimal agar mendapat AB = 70

Gunakan rumus:
Nilai akhir = 0,4 × UTS + 0,5 × UAS + 0,1 × Kuis

Substitusi nilai yang diketahui:
70 ≤ 0,4 × 40 + 0,5 × UAS + 0,1 × 80
70 ≤ 16 + 0,5 × UAS + 8
70 ≤ 24 + 0,5 × UAS
46 ≤ 0,5 × UAS
UAS ≥ 46 ÷ 0,5 = 92

Jawaban: c. 92

Keluarga fungsi kuadratik \(y = ax^2 + 2x + 3\) memiliki titik ekstrem (maksimum atau minimum) bergantung pada nilai \(a\). Untuk semua nilai \(a \ne 0\), titik-titik ekstrem tersebut akan membentuk:

Garis dengan gradien 1 dan melalui titik (0, 3) Garis dengan gradien 2 dan melalui titik (0, 2) Garis dengan gradien 1 dan melalui titik (3, 0) Garis dengan gradien -1 dan melalui titik (0, 3) Lingkaran

Diperoleh titik ekstrem pada sumbu simetri:
\[ \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2a} = \frac{-1}{a} \]
dengan nilai fungsi ekstrem:
\[ -\frac{D}{4a} = -\frac{4-12a}{4a} = 3-\frac{1}{a} \]
Sehingga titik ekstrem adalah:
\[ (x, y) = \left( \frac{-1}{a}, 3 - \frac{1}{a} \right) \]
Dengan demikian, hubungan antara \( x \) dan \( y \) adalah:
\[ y = 3 + x \]
Jawab: A.

Diberikan dua persamaan kuadratik: \(x^2 + mx + n = 0\) dan \(x^2 + px + m = 0\), dengan \(m, n, p\) merupakan koefisien-koefisien tak-nol. Jika akar-akar persamaan pertama sama dengan dua kali akar-akar persamaan kedua (berturut-turut), maka nilai \(n/p\) ialah:

1 2 4 8 16

Misalkan persamaan \( x^2 + mx + n = 0 \) memiliki akar-akar \( x_1 \) dan \( x_2 \),
sehingga persamaan \( x^2 + px + m = 0 \) memiliki akar-akar \( \frac{1}{2}x_1 \) dan \( \frac{1}{2}x_2 \).

Rumus Vieta memberikan:
\[ x_1 + x_2 = -m, \quad x_1x_2 = n \]
\[ \frac{1}{2}x_1 + \frac{1}{2}x_2 = -p, \quad \frac{1}{2}x_1 \cdot \frac{1}{2}x_2 = m \]

Dari persamaan pertama dan ketiga:
\[ \frac{1}{2}(x_1 + x_2) = -p \Rightarrow \frac{1}{2}(-m) = -p \Rightarrow p = \frac{1}{2}m \]

Dari persamaan kedua dan keempat:
\[ \frac{1}{4}x_1x_2 = m \Rightarrow \frac{1}{4}n = m \Rightarrow n = 4m \]

Oleh karena itu:
\[ \frac{n}{p} = \frac{4m}{\frac{1}{2}m} = 8 \]

Jawab: D.

Garis \( l_1 \) dengan persamaan \( 2x + y = 5 \) dan garis \( l_2 \) dengan persamaan \( x - 2y = 3 \) berpotongan di titik A. Titik B pada \( l_1 \) dan titik C pada \( l_2 \) dipilih sedemikian sehingga \( \overline{AB} = \overline{AC} \).

Persamaan garis BC yang melalui titik \( (2, 3) \) diberikan oleh:

\(3x-y=3\) \(3x+y=9\) \(x+3y=11\) \(x-3y=-7\)

A dan C benar
Pembahasan sebagai latihan.